任何形状的信号都可以视作无限个不同频率的正弦交变信号的叠加，在数学上用傅里叶序列来表述。假设有一周期信号x(t),其周期为T,那么它的傅里叶序列为

式中，a₀、a_n、b_n为傅里叶系数；为各次谐波的频率。常规的超声检测信号一般可认为是有限时间的瞬态信号，而对于某一瞬时态信号x(t),可设定其周期T趋向于无穷大，这时序列可以写作:

这里傅里叶系数变为连续的频率函数:

式(3-5)即是著名的傅里叶变换，式（3-4)是傅里叶反变换，其中f代表频率，x(f)为一复函数，其幅-频和相-频关系为

在超声检测中，幅-频关系表示的是超声回波信号声压随频率变换的关系，而相-频关系则表示的是被检测材料对不同频率超声波的滞后效应。

如果将信号x(t)经A/D采样变成数字信号序列x(n)，则对照式(3-5)可得出其离散傅里叶变换( Discrete Fourier Transform，简称DFT):

式中，n、k为序列号; N为数字信号序列的点数。

为了减少运算次数，缩短运算时间，1965 年诞生了一种计算DFT的新方法，称为FFT算法。由式(3-8)可知，用标准的DFT法计算所有的Y(k)时，对于N个Y(k)中的每一个，必须作 的N次复数乘加运算，则运算整个序列需要的总运算量为N²次复数乘加运算。由于一次复数乘加等于四次实数乘加，因此，对于大的N值，运算工作量将是相当大的。

FFT是把整个序列分解成若干较短的序列作DFT计算，用以代替计算原始序列的DFT。只要计算出较短序列的DFT,然后通过巧妙的办法把它们合并起来，就可得到整个序列的DFT。由于FFT使傅里叶变换的运算速度提高了两个数量级，从而带动数字信号处理方法在振动、声学及若干领域获得普遍应用。

FFT的实现方式有三种，即通过通用计算机加FFT软件、专用硬件或数字信号处理器(DSP)加软件来实现。

用软件在通用计算机上实现FFT具有通用性强、额外投资少等优点，缺点是运算速度慢。硬件FFT指的是用乘法累加器实现蝶形运算，用控制电路实现对FFT运算的控制(如循环等)。其优点是运算速度快，但缺乏通用性。目前多用于对实时性要求较高的水声、雷达等专业领城。借助数字信号处理器(DSP)以及汇编语言实现FFT运算，是一种软、硬件相结合的信号处理方式，不仅速度快，而且通用性好，目前成为振动、声学等领城中信导处理的主要工具。

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