加零处理
为了便于对序列x(nTs)进行FFT处理,希望采样序列长度N是2的整数次幂。而按前面方法确定的N一般不满足这个条件,为此,通常用给x(nTs)加零的办法,使
式中,P是正整数; Nx是加零点数。
此外,信号经过FFT后得到的频谐是离散的谱线,谱线间隔。因此,用离散傅里叶变换来观看频谐,只能通过一个“栅栏”来观看,即只能在离散点处看到真实的频谱。如果一个频率分量恰巧落在两个离散谱线之间,这个频率分量就会看不到,这称为“栅栏效应”。为了克服该效应对频率分辨力的影响,可在原信号的末端补加一些零,这相当于人为地增加了时域截断长度T,也就能在频谱形式不变的情况下,变更谱线的位置,减小谱线间隔,以便有可能看到原来看不到的频谱分量(见图3-6)。所以,加零可以提高频率分辨力。
频谱分析常用定理
频谱分析中经常要用到一些频谱定理,其实质是傅里叶变换的某些性质,它反映了信号同其频谱之间的基本关系,常用的频谱定理包括:
(1)线性叠加定理 如果x(t)和y(t)分别有傅里叶变换X(f)和Y(f),则它们的和x(t)+y(t)有傅里叶变换X(f) + Y(f),如图3-7所示。
(2)对称或对偶定理 若时域函数x(t)对应频谱为F(f),即x(t)⟷ F(f),则有
(3)时间展缩定理 如果x(t)的傅里叶变换是F(f),则x(kt)的傅里叶变换对为
在科学技术的许多领域,傅里叶变换的时间尺度变化这一性质为大家所熬悉,如图3-8所示,时间尺度扩展(或压缩)h倍,相应于频率尺度压缩(或打辰)h倍。应当指出,当时间尺度扩展时,不仅频率尺度缩小,而且频率域里的垂直幅度增大,使曲线下的面积保持不变。在用磁带机作扩展时间轴和压缩时间轴的频谱分析中,这是一个具有实用价值的方法。
a)时间没有扩展 b)时间放慢2倍,k=1/2 c)时间放慢4倍,k=1/4
(4)频率展缩定理 如果F(f)的傅里叶变换是x(t),k是实数,则F(kf)的傅里叶变换可由下面傅里叶变换对给出:
与时间尺度改变相类似,频率尺度扩展(或压缩)k倍,将导致时间尺度压缩(或扩展)k倍。这个效应如图3-9所示。当频率尺度扩展时,时间函数的幅度就增大。
(5)时间位移——时移定理 如果x(t)的自变量t被移动一个常量 ,则可
图3-9 频率尺度变化性质
a)频率没扩展 b)频率展缩为1/2,k=1/2 c)频率展缩为1/4,k=1/4
得到
这个变换对的图解如图3-10所示。可以看出,由于时间位移而引起了相角 的变化,即
图3-10时间位移性质
a)没有时移时
图3-10 时间位移性质(续)
b)时移45°时 c)时移90º时 d)时移180°时
应该指出,时间位移并不改变傅里叶变换频域幅值的大小。
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