方波是一种常见的信号，其时域、频域之间的关系很明确，且具有一定的代表性。此处以方波为例，对周期信号的频谱进行简单的分析。

信号的频谱可分为实部谱、虚部谱、幅值谱、相位谱、功率谱等。对信号作频谱分析既可以用各种频谱分析仪，也可以采用信号分析软件，其数学基础都是傅里叶变换。

三角形式的傅 里叶级数

任何一个周期函数x(t)都可以用三角函数集中各函数分量的线性组合来表示，即

式中，a₀、a_n 、b_n为傅里叶系数;f_n为各谐频的频率。

必须指出，并非任意周期信号都能进行傅里叶级数展开。在数学中已经描述，被展开的级数x(t)应满足如下的充分条件( Driclet条件):

1)在一周期内，信号是绝对可积的，即

2)在一周期内，函数的极大值和极小值的数目应是有限个。

3)在一周期内，如有间断点，则间断点的数目应是有限个，而且当t从不同方向趋近间断点时，函数应具有两个不同的有限的极限值。

实际进行信号分析时，不可能去计算无限多次谐波分量，而只能取有限项来近似地表示函数x(t)，这就要出现误差:

式中，为误差函数，代表所有n次以上谐波分量之和。所取的级数项越多，即n值越大，则其误差就越小。

例1  以图3-11所示方波为例，说明信号的傅里叶级数表示及其误差。

该信号用函数式表示:             

计算结果：                                

因此，该方波在区间(0,T)内可表示为

一般情况下，取的项数n越多，误差越小。此处以方波为例进行说明，图3-12分别给出了取第一项、前两项和前三项时所对应的图形。如果仅取第一项，均方误差 =0.19；若取前两项，则=0.1;取前三项，则=0.07。

在选取傅里叶级数的项数时，如果信号不连续，则存在一种现象：所选取的项数越多，所合成的波形中的峰越靠近f(t)不连续点。当所取项数足够大时，该峰趋于一常数，约为跳变值的9%，并从不连续点开始以振荡的形式逐渐衰减。这种现象称为吉布斯现象( Gibbs phenomenon)。

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